Obliczanie elementów ciągu Fibonacciego

 Ciąg Fibonacciego 

Ciąg Fibonacciego

 

Ciąg Fibonacciego, złota liczba i złoty podział.

Leonardo Fibonacci żył w latach 1175-1250, był włoskim matematykiem pochodzącym z Pizy.

Uważał 0 za pierwszą liczbę naturalną, zajmował się rozkładem liczby na czynniki pierwsze. To dzięki niemu posługujemy się cyframi arabskimi i to właśnie on podał wzór określający kolejne wyrazy ciągu Fibonacciego.

Otóż w tym ciągu liczb naturalnych pierwsze dwa wyrazy ciągu są równe 1, a każdy następny wyraz (zwany liczbą Fibonacciego) powstaje jako suma dwóch poprzednich, czyli 1 + 1 = 2; 1 + 2 = 3; 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8 itd. aż do nieskończoności:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 ...

Sam ciąg posiada kilka ciekawych właściwości.

Jeżeli podzielimy przez siebie dowolne, kolejne dwa wyrazy ciągu Fibonacciego, np. 987 : 610; 89 : 55 to stosunek tych liczb będzie równy zawsze tej samej liczbie, równej w przybliżeniu 1.618.

Im większe wyrazy ciągu podzielimy, tym dokładniejsze przybliżenie tej liczby uzyskamy. Liczbę tę nazywa się „złotą liczbą” i oznacza grecką literą φ (czyt. „fi”).

Stosunek tego podziału określa się również mianem „złotego podziału” lub „Boskiej proporcji”. Warto również wspomnieć o spirali Fibonacciego, szczególnym przypadku tzw. złotej spirali, której szerokość zwiększa się (lub zmniejsza) o 90° dokładnie φ razy (czyli o „złotą liczbę”).

 

Świat przyrody

W przytłaczającej większości optymalnie rozwinięty kwiat bez mutacji i deformacji, zawsze ma liczbę płatków będącą liczbą Fibonacciego (np. 1 płatek – lilia calla, 2 – wiloczmlecz, 3 – irys, 5 – dzika róża, 8 – ostróżka, 13 – nagietek, 21 – stokrotki, 34 – złocień).

Zjawisko zwane spiralną filotaksją (ulistnieniem) cechuje bardzo wiele gatunków drzew. Myślimy tutaj o strukturze gałęzi układających się spiralnie wokół pnia.

Gdybyśmy ponumerowali gałęzie zgodnie z wysokością, na jakiej wyrastały to okaże się, że liczba gałęzi sąsiadujących pionowo jest liczbą Fibonacciego, a ponadto liczba gałęzi pomiędzy gałęziami sąsiadującymi pionowo również jest tą liczbą.

Zasada spiralnej filotaksji ma również swoje miejsce w świecie roślin, gdzie wyrastające liście wzajemnie się nie przysłaniają.

W ten sposób rośliny mogą maksymalnie wykorzystywać posiadane miejsce, energię słoneczną oraz zebrać jak największą ilość deszczu.

Najlepszym przykładem spirali Fibonacciego w przyrodzie są muszle.

Ciało człowieka

Najbliższe organizmowi ludzkiemu liczby ciągu Fibonacciego to 1,2 i 5.

Mamy dwie kończyny górne i dwie dolne, pięć zmysłów, trzy wypustki głowy (dwoje uszu i nos), trzy otwory głowy (dwoje oczu i usta) i pojedyncze organy.

Złoty podział i liczbę fi znajdziemy również w proporcjach naszego ciała. Co prawda proporcje te nie są tak idealnie i dokładnie zachowane, ale są na pewno bardzo zbliżone.

Weźmy na przykład stosunek wzrostu człowieka do odległości od stóp do pępka, który wynosi fi (1,618). Te same stosunki odległości równe liczbie fi, znajdziemy także w odległości np. od koniuszków palców do łokci – do odległości od łokcia do nadgarstka; od ramion do czubka głowy – do odległości od brody do czubka głowy; od pępka do czubka głowy – od odległości ramion do czubka głowy; od kolana do pępka – do odległości od kolana do stopy.

Złote proporcje zachowują nawet spirale naszego DNA. Cząsteczka DNA mierzy 34 jednostki długości na 21 jednostek szerokości dla każdego odcinka podwójnej spirali. Liczby te są oczywiście elementami ciągu Fibonacciego, a zależność między nimi jest równa  liczbie fi.

 

Muzyka, sztuka i architektura, a ciąg Fibonacciego.

Zasady ciągu Fibonacciego i złotej liczby możemy odnaleźć także w świecie muzyki. Zależności pomiędzy poszczególnymi dźwiękami w muzyce opierają się właśnie na matematycznych prawach harmonii, a dokładniej właśnie na liczbie fi.

Zakres dźwięków słyszalnych rozciąga się od 32 (największe piszczałki w organach) do 73700 (granie cykad) drgań na sekundę. Dźwięki zawarte w przedziale 60-33000 drgań mają charakter muzyczny. Odległości pomiędzy dwoma dźwiękami nazywane są interwałami.

Te najprzyjemniej brzmiące dla ucha powstają na podstawie liczby fi.

Zapis nutowy znanego kanonu D-Dur Pachelbela skonstruowany jest według liczb Fibonacciego, a jego odzwierciedlenie można znaleźć w wielu współczesnych utworach muzycznych (np. Green Day – Basket Case, U2 – With or Without You, Bob Marley – Woman No Cry, The Beatles – Let It Be).

Ponadto większość z sonat Amadeusza Mozarta podzielona była na dwie części dokładnie z zachowaniem złotego podziału. Z zasady tej korzystał również Antonio Stradivarius podczas konstruowania swoich najlepszych wiolonczeli.